살군의 보조기억 장치

Another memory device…

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python3 을 기본 “python” 명령으로 실행시키기

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아직까지는 많은 linux 배포판의 파이썬 기본 탑재버전은 2.x 대를 사용 중이다. 고로, python 을 실행하면 2.x 버전이 실행되나 파이썬의 최신버전은 3.x 이며 이를 사용하기 위해서는 아래와 같이 셋팅하면 된다.

A simple safety way would be to use an alias, by placing:

alias python=python3

into ~/.bashrc or ~/.bash_aliases file.

물론 소소한 문제는 있을 것 같다.

참고

Written by gomiski

2015/02/13 at 12:45 am

매번 햇갈리는 UML 정의

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매번 햇갈리는 UML 정의가 있다. 바로 Aggregation과 Composition의 차이 이다.

  • Aggregation: 전체와 부분의 연관 관계를 맺지만, 그러나 동일한 생명 주기를 갖지는 않는다.
  • Composition: 전체와 부분이 강력한 연관 관계를 맺으며, 전체와 부분이 같은 생명 주기를 갖는다.

Aggregation 의 예로는, Person-Address 관계가 있을 수 있다. 역사과목-학생의 관계 또한 aggregation 이라고 볼 수 있다. Composition 의 예로는 Car-Engine 관계가 있다. House-Room 도 가능하다. 이젠 햇갈리지 말자

참고

Written by gomiski

2014/11/05 at 6:14 am

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Trac 설치 방법

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예전에 Trac 을 설치해서 사용했던 적이 있었는데, 한동안 안쓰다가 다시 쓰려니 하나하나 다시 찾아봐야 되서 정리를 하기로 마음먹었다. Trac 은 파이썬 기반이므로 일단 파이썬을 설치해야 한다.

  1. 파이썬 ≥ 2.5 and < 3.0 설치
  2. 파이썬 홈페이지에 가서 설치를 하면 되는데, 주의할 점은 파이썬은 3.x 버전부터 문법이 달라져서 2.x 대 버전과 호환성이 없어져버렸다. 근데 Trac 은 2.x 기반으로 만들어졌으므로 3.x 버전을 설치하면 안된다. 파이썬 홈페이지에 가도 2.x 와 3.x 를 따로 다운 받을 수 있도록 해놨으니, 2.x 버전의 최신판으로 다운 받아서 설치하면 된다.

  3. setup_tools ≥ 0.6 설치
  4. 좀 전까지 설치한게 이건데… 애매하지만 간단하게 설명하면, setup_tools 다운로드 페이지에 가서 아래로 내리면 “Windows (simplified)” 항목에서 시키는 대로 “ez_setup.py” 파일을 다운 받아서 파이썬으로 실행시키면 된다. 파이썬으로 파일을 실행하는 방법은,

    python ez_setup.py

    라고 하면 된다. 그럼 알아서 다운 받고 설치도 된다.

  5. Genshi ≥ 0.6 설치
  6. 나머지 Mendetory 패키지인 Genshi 는 setup_tools 에서 지원하는 easy_install 을 이용해서 쉽게 설치할 수 있다. 위의 2.를 제대로 설치했다면, 파이썬 디렉토리 안에 Scripts 라는 디렉토리가 생겼을 것이다. 여기 들어가면 easy_install.exe 파일이 보인다. 이걸로 아래와 같이 실행하면 끝.

    easy_install Genshi

  7. 파이썬 DB 바인딩 설치
  8. 홈페이지에서 권고하는데로 PySqlite 를 다운 받을려고 보니, 파이썬 2.5 버전 이상에서는 PySqlite 2가 sqlite3 모듈로 기본 DB 바인딩으로 들어가 있다고 한다. 굳이 다운 안받아도 되겠다.

  9. Trac 설치
  10. 자! 이제 준비가 다 되었으니 Trac 을 설치해보자. 설치 방법은 간단하다. easy_install 이 있는 파이썬 디렉토리 내의 Scripts 디렉토리에 들어가서,

    easy_install Trac==1.0

    을 실행하면 된다. 그러면 Scripts 디렉토리 내부에 trac 과 관련된 파일이 생성된 것을 볼 수 있다.

  11. 프로젝트 생성
  12. 나는 아파치 서버를 따로 안 쓸 예정이므로, 그냥 trac 에 내장된 tracd 를 돌려서 사용한다. 일단 여기까지 하면 trac 이 실행되는 환경까지 왔다. 처음 설치한 파이썬의 하위에 있는 Scripts 디렉토리에 보면 trac 과 관련된 파일들이 생성되어 있을 것이다. 이제 프로젝트를 한번 등록해보자. Scripts 디렉토리에서

    trac-admin /path/to/myproject initenv

    을 실행하면, /path/to/myproject 라는 디렉토리가 생성되고 trac 이 초기화 되었다. 이제 tracd 를 이용해서 실제 trac 을 돌려보자.

    tracd –port 8000 /path/to/myproject

    이제 웹브라우저에서 http://localhost:8080 으로 접속하면 trac 페이지가 보이고 프로젝트로 갈 수 있을 것이다.

  13. 관리자 계정 등록
  14. 첨에 들어가면 아무것도 할 수 없다. 그냥 trac 이 잘 돌아간다는 것만 확인할 수 있다. 이제 관리자 계정을 부여받자. 일단 tracd 를 멈추고 난 후,

    trac-admin /path/to/myproject permission add admin TRAC_ADMIN

    명령어를 입력하고 난 후, 다시 tracd 를 실행해서 웹브라우저로 들어가보면 우측 상단에 “Admin” 혹은 한글로 “관리” 라는 탭이 생겼을 것이다. 이제 관리자 계정으로 접속이 가능하다. 로긴도 없이 말이지…ㅋ

  15. 계정관리 플러그인 설치
  16. 이것저것 복잡하게 계정관리하는 뭔가가 나오는데… 복잡하다. 그렇다고 계정관리를 안할 수는 없으니, 편하게 관리해주는 툴을 찾아보자. 바로 Account Manager Plugin 이다. svn 이 설치되어 있다면 easy_install 로 간단하게 설치가 가능하다.

    easy_install https://trac-hacks.org/svn/accountmanagerplugin/tags/acct_mgr-0.4.4

    그러나 나는 아직 svn 이 설치되어 있지 않으니 일단 소스를 다운 받아서 압축을 푼 다음 acct_mgr-0.4.4 디렉토리에 들어가서 (들어가면 setup.py 파일이 보일거다),

    python setup.py bdist_egg
    cd dist
    easy_install TracAccountManager-0.4.4-py2.7.egg

    를 실행하면 된다. 단, 이때 tracd 를 종료한 상태에서 실행해야 한다. 당연한 이야기다.이제 다시 tracd 를 실행해서 “Admin” 탭에 Plugins 에 들어가보면 trac account manager 가 설치되어 있을 것이다. 이걸 열어서 모두 enable 채크! 그럼 왼쪽에 Account 관리기능이 생긴다. 대단히 대단하다!

끝으로… trac 을 설치하고 프로젝트를 생성하고 나면 안에 여러 디렉토리가 있다. 이 가운데,

    site/ – htdocs/ 의 복사본. 고로 메시지 로그상에 site/ 에 파일이 없다고 나온다면 htdocs/ 에 넣어주면 된다.
    common/ – trac 에서 관리하는 static resource
    <plugin>/ – 플러그인 별로 하나씩 생기는 디렉토리로 플러그인 환경설정에서 관리하는 디렉토리 들이다.

2014-10-21 추가

  1. mscgen 플러그인 설치
  2. mscgen 은 sequence diagram 을 그려주는 것이다. websequencediagram 플러그인을 써 보려고 했는데 Genshi 에서 UnicodeError 라면서 안되길래 그냥 포기하고 예전에 써봤던 경험이 있는 mscgen 으로 바꿨다. 설치방법은 다른 것들과 동일하다. 파이썬으로 빌드해서 egg 파일을 trac/plugin 디렉토리에 집어넣으면 trac 에서 자동으로 인식한다. 다만… 빌드할 때, 주의할 사항으로 mscgen 의 위치와 mscgen 으로 생성되는 이미지 캐시들이 저장될 위치를 하드코딩해넣어야 한다. 소스의 mscgen.py 파일을 살펴보면,

    	def __init__(self):
    		self.cache_dir = "%s\mscgen_cache" % (self.env.path)
    		self.proc_path = "D:\PATH_TO_MSCGEN\mscgen.exe"
    		self.proc_opts = ""
    		self.log.info('version: %s - id: %s' % (__version__, str(__id__)))
    

    하일라이트 된 줄을 내 환경설정에 맞게 하드코딩 해 넣어야 한다. 여기서 %s 는 현재 trac 이 설치된 디렉토리를 말한다. 나는 윈도우 기반으로 간단하게 설치한 것이라 mscgen.exe 파일을 사용하는 것을 볼 수 있다. 42번 라인인 캐시 디렉토리의 경우, 상대경로로 지정이 가능한데, mscgen 실행파일이 저장된 디렉토리는 절대경로로 지정해야 한다. 나는 D 드라이브에 실행파일이 있으므로 D:\PATH_TO_MSCGEN\mscgen.exe 로 지정했다. 완료되면 trac 안에서 아름다운 sequence diagram 을 쉽게 만들고 편집할 수 있다 🙂

2014-11-04 추가

  1. PlantUML 플러그인 설치
  2. PlantUML 은 UML 제작툴이다. 위에 있는 mscgen 은 sequence diagram 만 제작해주는데, 이걸로는 다양한 표현이 어려워서 새로운 플러그인을 찾아보니 좋은게 있어서 설치했다. 의외로 잘 동작한다. 설명페이지에는 linux 기반의 설명밖에 없지만, PlantUML 이 java 기반으로 만들어져있어 윈도우 환경에서도 잘 동작한다. 자… 일단 메뉴얼에서 시키는데로 dependency 들을 설치한다. 여기서 주의할 점은 ​Graphviz의 환경변수를 등록하고 path를 지정하는 것이다. 일단 테스트를 위해서 윈도우 커맨드 창에서,

    set GRAPHVIZ_DOT=C:\path\to\dot.exe

    이렇게 등록을 하면 일단 테스트는 가능할 것이다. 그러나 매번 새로 부팅할 때마다 다시 설정해줘야하니 환경변수 설정에서 등록을 해놓으면 간단하게 해결할 수 있다. 그리고 끝으로 trac.ini 파일에서

    [plantuml]
    plantuml_jar = /path/to/plantuml.jar
    java_bin = /path/to/java_bin (optional, if Java binary is not on the search path)

    위의 설정을 추가해주면 된다. 완료되면 trac 안에서 mscgen 보다 더 아름다운 sequence diagram 을 쉽게 만들고 편집할 수 있다 🙂

참고

Written by gomiski

2014/10/07 at 7:27 am

영상처리에서 미분과 convolution 의 관계

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보통 엣지edge를 찾거나 할 경우, 기본적으로 미분한 결과를 사용한다. 근데 왜 영상처리에서 미분이 convolution 이 되는 것일까? 갑자기 의문이 들었다. 물론 단순하게 “영상처리에서의 미분은 필터링filtering이고 필터링은 곧 convolution 이다”라고 생각하고 그냥 받아들이면 되지만 그냥 받아들이기엔 뭔가 찜찜하다. 이번 글에서는 왜 영상처리의 미분이 convolution 이 되었는지에 대해 수학적으로 한번 파고들어 보겠다.

편미분partial derivative 가능한 2차원 이미지 F(x,y)가 있을때, 이 함수의 편미분은 (1) 처럼 정리할 수 있다.

\dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}^{} \dfrac{F(x + \Delta x, y) - F(x,y)}{\Delta x} (1)

물론 \Delta x는 미소변위이다. 디지털 영상처리의 영역에서 본다면 \Delta x = 1이 가능한 최소값이 된다. 이를 이용해서 (1) 을 좀 더 일반화 시키면,

\dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} \bigg\rvert_{x=i, y=j} \approx f(i+1, j) - f(i,j) (2)

(2) 를 코드로 바꿔보면 아래와 쓸 수 있다.

int g[2] = {1, -1};

for (i=istart; i<=iend; i++)
{
    h[i][j] = 0;
    for (a=0; a<=1; a++)
        h[i][j] += g[a]*f[i+a][j];
}

위 코드는 사소한 문제가 있다. 예를들어 f[iend +1][j] 같이 실제 이미지보다 더 큰 부분의 경우에 대한 프로그램적인 처리가 필요하지만, 이 부분은 이번 글에서의 요점이 아니기 때문에 생략하기로 한다. 이제 위의 코드를 좀 더 일반화 시켜서 g 가 임의의 필터가 되고 2차원 처리가 가능하도록 변경하면,

for (j=jstart; j<=jend; j++)
{
    for (i=istart; i<=iend; i++)
    {
        h[i][j] = 0;
        for (a=astart; a<=aend; a++)
            for (b=bstart; b<=bend; b++)
                h[i][j] = g[a][b]*f[i-a][j-b];
    }
}

위의 코드에서 +a 가 -a 로 바뀐 부분은 마스크mask인 g 와 이미지 f 와의 상관관계를 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 왜 이렇게 바꿨냐하면, 위의 코드를 다시 일반화된 수식으로 풀어쓰면 convolution 이 됨을 쉽게 확인할 수 있기 때문이다.

h(i,j) = \sum\limits_{a=a_{start}}^{a_{end}} \sum\limits_{b=b_{start}}^{b_{end}} g(a,b)f(i-a, j-b) (3)

자!!! 이렇게 해서 convolution 이 나왔다. 수식으로 풀면 (2) 에서 (3) 으로 바로 일반화 시킬 수도 있지만… 이러면 나도 이해가 안되기 때문에…;;;

정리하면, 미분과 convolution 의 문제가 아니라 2차원 영상처리에서 어떠한 필터를 적용하고자 한다면 2D convolution 을 하면 된다는 것을 수식으로 알 수 있다. 미분을 하고싶다면 필터 g 를 미분할 수 있는 coefficient 로 사용하면 되고 가우시안gaussian 필터링을 하고싶다면 g 에 가우시안 필터 계수를 넣으면 되는 것이다.

참고

Written by gomiski

2014/05/13 at 4:48 am

Harris Corner Detector

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Harris corner detector 를 이야기 하기전에 먼저 Moravec corner detector 에 대해 언급을 해야한다. Harris corner detector 는 H. Moravec (1980) 이 제안한 corner detector 를 개선한 것이기 때문에 배경을 알고 가면 더 쉽게 이해가 된다. 사실 나도 이 논문을 읽어보진 않았다.

Moravec corner detector 의 핵심은 조그만 사각형 윈도우를 모든 방향으로 45도 간격으로 이동하면서 얻은 값을 가지고 코너가 있는지 여부를 판단하는 것이다. 물론 여기에는 엣지edge도 포함이 된다. 왜 45도가 되는지는 금방 알 수 있다. 모든 방향으로 1픽셀씩 움직으면 결국 8방향 45도 간격으로 밖에 되지 않기 때문이다. 실제로는 4가지 변위만 측정

Flat

Flat

Edge

Edge

Corner

Corner

E(u,v) = \sum\limits_{x,y}^{} w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]^2 (1)
window function w(x,y)=binary window

위의 그림과 식 (1)이 Moravec corner detector 이다. I는 이미지이고, w는 윈도우 함수이다. E(u,v)를 이동해가면서 intensity 변화량을 검출한 결과이다. (u,v)를 (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1) 로 바꿔가며 네가지 변위를 측정해서 \mathbf{min}(E)의 local maxima 를 탐색한다. 그러나 위의 그림에서 보듯이 Moravec 은 아래와 같은 몇가지 문제를 안고 있다.

  1. 노이즈에 취약하다 – binary window function
  2. 45도 각도의 엣지만을 고려할 수 있다 – (u,v)이동 변위의 고정된 4개 픽셀 값
  3. \mathbf{min}(E) 값만을 가지고 검출한다

이 문제를 해결한 것이 바로 Harris corner detector 다. Harris 는 위에서 언급한 Moravec 의 3가지 문제점에 대한 개선방안을 제시했다.

  1. 노이즈에 취약하다 – gaussian window function 사용
  2. w(x,y)=e^{-\frac{(x^2+y^2)}{2\sigma^2}} (2)
    window function w(x,y)=gaussian window

    즉, 가우시안을 윈도우 함수로 사용해서 노이즈에 대한 민감도를 낮췄다.

  3. 45도 각도의 엣지만을 고려할 수 있다 – 테일러 확장Taylor’s expansion으로 (u,v)의 미소변위에 대해 측정 가능

  4. 기존의 픽셀단위 이동으로는 엣지의 방향을 45도 간격으로 밖에 구할 수 없었다. 이를 해결하기 위해 Moravec 이 제안한 식 (1) 을 테일러 시리즈로 확장해서 엣지의 방향을 보다 정확하게 찾아낼 수 있도록 개선했다. 테일러 확장Taylor expansion한 결과는 식 (3) 과 같다. 2D 테일러 시리즈의 자세한 사항은 이전글을 참고하자.

    \begin{array}{rcl} E(u,v) & \approx & \sum\limits_{x,y}^{} w(x,y)[I(x,y) + uI_x + vI_y - I(x,y)]^2 \\ & \approx & \sum\limits_{x,y}^{} w(x,y)[u^2I_x^2 + 2uvI_xI_y + v^2I_y^2] \end{array} (3)

    (3) 을 다시한번 매트릭스 형태로 정렬하면,

    \begin{array}{rcl} E(u,v)  & \approx & [u,v] \left( \sum\limits_{x,y}^{} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \\ \\ & \approx & [u,v]M \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \end{array} (4)
    where, M = \sum\limits_{x,y}^{} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{bmatrix}

    (4) 에서 보는것 처럼 모든 (u,v)에 대한 이미지의 모든 점 (x,y)를 고려한다.

  5. \mathbf{min}(E) 값만을 가지고 검출한다

  6. 이 부분은 아직 잘 이해가 안된다. 개념적으로는 Local maxima of \mathbf{min}(E) 값만을 검출하더라도 코너라면 (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1) 네 방향에서 모두 크게 나올 것이므로 가능하다. 그러나 나머지 유용한 정보들은 모두 버려지게 된다. 이를 개선한 것이 위의 (4) 이다. 테일러 시리즈로 확장하면서 max of min(E) 가 아니라 모든 점들의 정보를 다 사용하기 때문에 보다 정확한 코너의 방향을 추정할 수 있다.

이제 Harris corner detector 를 어떻게 해석하는지에 대해 살펴보자. (4) 에서 M은 symmetric 이므로 이를 decomposition 하면 아래와 같이 정리된다.

M = Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q (5)
where, Q is rotation, \Lambda is Diagonal
\begin{array}{rcl} E(u,v)  & \approx & [u,v]  Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q  \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \\ \\ & \approx & [u',v'] \Lambda \begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix} \\ \\ & \approx & \Lambda_{1,1} (u')^2 + \Lambda_{2,2} (v')^2  \end{array} (6)

(6) 에서 보는바와 같이 E(u,v)\Lambda 다시말해 eigen-value 값에 의해 결정이 된다. 이를 수학적으로 판단하기 위한 수식이 바로 (7) 이다.

R = \mathbf{det} M + k (\mathbf{trace} M)^2 (7)
\mathbf{det} M = \lambda_1 \lambda_2
\mathbf{trace} M = \lambda_1 + \lambda_2
k = 0.04 ~ 0.06: empirical constant

\lambda_1\lambda_2는 diagonal matrix \Lambda의 eigen-value 이다. 이번에는 여기까지 🙂

참고

테일러 시리즈(Taylor series)

with one comment

x+x^2+x^3+\cdots은 유한한 수로 표현을 할 수 있을까? 좀 더 일반화 해서, 규칙을 가진 무한히 많은 수의 합이 유한한 수로 표현이 될 수 있을까? 이것은 아주 오래된 질문이다. 물론 우린 답을 알고 있다. 답은 “그렇다” 이다.

이 질문의 기원은 고대 그리스 시절로 거슬러 올라간다. 고대 그리스의 철학자 Zeno 는 무한한 수열의 합이 유한한 결과를 낼 수 있는가에 대해 생각을 했었다. 그러나 Zeno’s paradox 라고 알려진 결과를 통해 불가능하다고 했다. 이후 아리스토텔레스Aristotle는 Zeno’s paradox 에 대해 철학적인 수준에서 반박을 했으나 수학적인 증명을 하진 못했다. 수십년 뒤, 데모크리토스Democritus와 아키메데스Archimedes 대에 이르러서 수학적으로 가능하다는 것이 증명이 되었다.

테일러 시리즈Taylor series와 상관이 없어보이는 무한한 수에 대한 이야기를 먼저하는 이유는, 테일러 시리즈가 위에서 이야기 한 것과 반대로 유한한 값을 무한한 수의 합으로 표현(근사approximation)한 것이기 때문이다. 테일러 시리즈가 뭔지를 한번 보자.

f(x) = f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!} (x-a)+ \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\dfrac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots (1)

이것을 일반화 시키면,

f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n} (2)

단, 이것은 모든 x에 대해서 성립하는 것이 아니라 x a 근처에서만 성립하고, a 의 범위는 f(x) 에 따라 달라진다. 이게 무슨뜻인지는 말로 설명하는 것 보다 그림을 보면 확실하게 이해할 수 있을 것이다.

The Taylor approximations for log(1+x) (black). For x > 1, any Taylor approximation is invalid. 출처: wikipedia

The Taylor approximations for log(1+x) (black). For x > 1, any Taylor approximation is invalid. 출처: wikipedia

위의 그림에서 보듯이 테일러 시리즈의 다항식 차수 N이 증가함에 따라 검은색 선으로 표시된 함수 f(x) = \log(1+x)에 점점 접근하는 것을 볼 수 있다. 그러나 |x|\geq 1일 경우에는 오차가 급격하게 증가한다. 다시말해 \log(1+x) 함수는 |a| < 1인 경우에만 테일러 시리즈를 적용할 수 있다. 또한 N의 차수가 낮더라도 xa 근처 있다면 보다 정확한 근사치를 얻을 수 있다.

테일러 시리즈는 당연히 미분가능한 영역에 대해서만 적용할 수 있다. 테일러 시리즈로 확장하는 것 자체가 미분가능한 구간이 아니면 불가능하니까. 그 외에 필요한 수학적인 조건은 패스.

테일러 시리즈가 주로 쓰이는 곳은,

  1. 정적분definite integral의 계산
  2. 부정적분indefinite integral을 계산하기 힘든 함수의 경우에 아래와 같이 테일러 시리즈를 활용하면 정적분의 계산값을 근사적으로 구할 수 있습니다.

    \displaystyle\int_0^1 \sin (x^2) \mathop{dx} = \displaystyle\int_0^1 \left(x^2 - \dfrac{x^6}{3!} + \dfrac{x^{10}}{5!} - \cdots \right) \mathop{dx}

    위 식에서 \sin (x^2)의 테일러 급수는 \sin (t)t = 0에서의 테일러 전개에 t = x^2을 대입하여 얻어진 식이며, 적분 구간이 [0, 1]이기 때문에 x = 0에서의(즉, a = 0) 테일러 급수를 사용해도 근사오차가 크지 않습니다.

  3. 함수의 점근asymptotic 특성 파악
  4. 테일러 급수를 활용하면 함수(특히 삼각함수, 지수함수, 로그함수와 같은 초월함수)의 점근적 특성을 손쉽게 파악할 수 있습니다. 예를 들어, 아래와 같이 x = 0 근처에서 \sin x \simeq x 임을 테일러 급수를 이용하면 쉽게 알 수 있습니다.

    \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots}{x} = 1

  5. 문제 또는 모델의 단순화
  6. 테일러 급수의 가장 일반적인 활용예로 볼 수 있습니다. 즉, 어떤 복잡한 또는 잘 모르는 함수가 있을 때, 이 함수를 저차의(1~3차) 다항함수로 근사하여 사용함으로써 문제 또는 모델을 단순화시키는데 테일러 급수가 활용될 수 있습니다. 구체적인 예를 들기는 어렵지만 테일러 급수는 논문 등에서 어떤 이론이나 주장에 대한 논리적 근거를 단순화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 기법 중의 하나입니다. 한 활용예로 가우스-뉴턴(Gauss-Newton) 방법을 증명하는데 테일러 급수가 활용됩니다. 이에 대한 내용은 뉴턴법/뉴턴-랩슨법의 이해와 활용(Newton’s method)을 참조하기 바랍니다.

  7. 기타 활용예
  8. 테일러 급수는 미분방정식을 풀 때, 또는 초월함수의 함수값을 계산할 때도 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 미분방정식 y' = y, y(0) = 1yy = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots 라 놓고 풀면 y(0) = 1에서 a_0 = 1, y' = y에서 a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \cdots = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots이 됩니다. 즉, a_1 = a_0 = 1, a_2 = a_1/2 = 1/2, \cdots 이런 식으로 y를 구할 수 있겠죠. 참고로, 이렇게 구한 ye^x를 테일러 전개한 식과 같습니다. 다른 예로, \sin x의 값을 컴퓨터로 계산한다고 했을 때, \sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots 와 같이 테일러 급수를 이용하여 함수값을 계산하면 몇 번의 계산만으로도 매우 정밀한 결과값을 얻을 수 있습니다.

등이 있다.

이건 아주아주 예전부터 들어왔지만, 정확한 이해가 되지 않았는데… 이제서야 정리가 되었다.


update 2014.05.07
이제까지는 1D 테일러 시리즈를 보았다. 이를 2D 로 확장시키기 위해 식 (2) 를 약간 변형시켜 보겠다.

f(x_0 + \Delta x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac {f^{(n)}(x_0)}{n!} \, {\Delta x}^{n} (3)

근본적으로 달라지는 것은 없다. xa 근처에서 성립하는 것만 인지하고 있다면 쉽게 이해할 수 있다. 꼭 찝에서 넣자면, x_0 =a 이고, \Delta x = (x - a)이다.

자 이제 테일러 시리즈를 2D 로 확장해보자. 기본적인 2D 형태의 함수는 식 (4) 와 같다. 이걸 이야기하기가 애매해서 식 (3)을 적은 것이다.

f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) (4)

위 식에서 f는 2차원 함수이며, \Delta x\Delta y는 0 에 한없이 가까운 값이다. 이것을 테일러 시리즈로 확장하기 위해서 약간의 수학적인 트릭이 더해진다.

g(t) = f(x_0 + t \Delta x, y_0 + t \Delta y) (5)

x_0, y_0, \Delta x, \Delta y를 상수로 생각하면, g함수는 t변수만을 가진 1차원 함수로 쓸수가 있다. 여기에서 t_0 = 0으로 두고 \Delta t = 1로 두면, 1D 테일러 시리즈로 확장할 수 있는 형태가 된다. 이를 다시 정리하면,

g(t) = f(x(t), y(t)) (6)
where, x(t) = x_0 + t \Delta x, y(t) = y_0 + t \Delta y

식 (6) 은 1D 테일러 시리즈로 확장할 수 있는 형태가 되었다. 이제 필요한 것은 g(t)\big\rvert_{t=0}에서 미분가능한지 여부와 미분값을 확인하면 된다. \dfrac{\mathop{d}}{\mathop{dt}}x(t) = \Delta x 이고, \dfrac{\mathop{d}}{\mathop{dt}}y(t) = \Delta y 이므로,

\begin{array}{rcl} \dfrac{\mathop{d}}{\mathop{dt}}g(t) & = & \dfrac{\partial }{\partial x}f(x(t), y(t)) \dfrac{\mathop{d} }{\mathop{dt}}x(t) + \dfrac{\partial }{\partial y}f(x(t), y(t)) \dfrac{\mathop{d} }{\mathop{dt}}y(t) \\ \\ & = & f_x(x(t), y(t))\Delta x + f_y(x(t), y(t))\Delta y \\ \\ \dfrac{\mathop{d}^2}{\mathop{dt}^2}g(t) & = & f_{xx}(x(t), y(t))\Delta x^2 + 2f_{xy}(x(t), y(t))\Delta x\Delta y + f_{yy}(x(t), y(t))\Delta y^2 \end{array}

3차 이상의 미분항은… 거의 쓸일이 없으므로 생략한다. 자 이제 마지막으로 정리를 하면,

\begin{array}{rcl} f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) & = & g(t_0 + \Delta t)\bigg\rvert_{t_0=0, \Delta t=1} \\ \\ & = & g(0) + g'(0) + \frac{1}{2}g''(0) + \cdots \end{array}

(7)

식 (7) 로 간단하게 정리가 되며, 이 결과로 얻어지는 2D 테일러 시리즈는 식 (8) 과 같다.

\begin{array}{rcl} f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) & = & f(x_0, y_0) \\ \\ & + & f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y \\ \\ & + & \frac{1}{2}\left[f_{xx}(x_0, y_0)\Delta x^2 + 2f_{xy}(x_0, y_0)\Delta x\Delta y + f_{yy}(x_0, y_0)\Delta y^2 \right] \\ \\ & + &\cdots \end{array}

(8)
참고

Written by gomiski

2014/05/01 at 3:43 pm

첫번째 커밋 closed

with one comment

처음으로 한 커밋이 closed 됐다. 아쉽지만 merged 되진 않았고, 내가 닫았다. 내가 한 커밋을 할당받은 담당자가 그대로 놔두자라고 한 것이 제일 크고, 그 이유가 binary compatibility 때문이였다. binary compatibility이진 호환성 문제는 아무래도 major 버전 변환이 일어나기 전에 이제 정리되는 버전에서 중요하지도 않은 기능 때문에 호환성을 깨면서까지 바꾸기엔 의미가 없었던 듯 하다. 내가 봐도 맞는 이야기이고. 일단 전체 프로세스를 한번 거쳤다는 것에 의의를 둬야 되겠다.

그리고 나도 잘 몰랐던 binary compatibility 란 것에 대하 찾아봤다. 깊게 들어가면 플랫폼이나 os 에 따라 요구사항도 다르고 내가 지금 이걸 확인할 사항은 아니므로, 이 정도면 대충 감을 잡겠다 싶은 정도까지만 알아보자. 우선 정의를 보면,

Definition

A library is binary compatible, if a program linked dynamically to a former version of the library continues running with newer versions of the library without the need to recompile.
If a program needs to be recompiled to run with a new version of library but doesn’t require any further modifications, the library is source compatible.

Binary compatibility saves a lot of trouble. It makes it much easier to distribute software for a certain platform. Without ensuring binary compatibility between releases, people will be forced to provide statically linked binaries. Static binaries are bad because they

  • waste resources (especially memory)
  • don’t allow the program to benefit from bugfixes or extensions in the libraries

In the KDE project, we will provide binary compatibility within the life-span of a major release for the core libraries (kdelibs, kdepimlibs).

새로 컴파일 안하고 그대로 라이브러리를 그대로 교체해서 사용할 수 있는것이다. 조건이 대략 까다롭다. 외부 인터페이스는 전혀 건드리지 말아야 된다는 소리다. 인터페이스와 관련해서 binary compatibility 를 이야기할 때 빠지지 않는 ABI, API, interface 에 대한 내용을 살펴보면,

  • ABI – Application Binary Interface. The binary interface between systems. If a binary interface changes, both sides of the interface (the user and the implementation) must be recompiled.
  • API – Application Program Interface. The source interface between systems. If a source interface changes, code that uses that interface must be modified. API changes usually imply ABI changes.
  • Interface – A class where every method is pure virtual, and thus has no inherent implementation. An interface is merely a protocol for communication between objects.
  • Factory – Something that creates objects. In this article, we’ll use a single global function as our factory.
  • DLL Boundary – The line between code instantiated in a DLL and code in a calling process is called the DLL boundary. In some cases, code can be on both sides of the boundary: Consider an inline function in a header file that gets used in the DLL and the executable. The function is actually instantiated on both sides of the boundary. Therefore, if the inline function has a static variable, two variables will be created, one in the executable and one in the DLL, and which is used depends on whether the code in the DLL or the executable is calling the function.

물론 처음에 인용한 내용은 전반적인 binary compatibility 에 관한 이야기이고, 아래 인용한 내용은 이 가운데 windows 기반에서 binary compatibility 를 지키기 위해 고려해야 될 사항들을 정리한 것이다. 처음에 언급한 것 처럼, binary compatibility 는 플랫폼, os 등등에 따라 달라진다는 것만 생각한다면 쉽게 이해가 된다.

이 문제 때문에, 이번 커밋은 반영되지 못하고 그냥 닫혔다. 하나 배웠으니까… 다음에는 더 잘하겠지. 🙂

참고

Written by gomiski

2014/04/08 at 5:53 am